[Quant] 켈리 방정식 (Kelly Criterion)

1. 켈리 방정식이란?

켈리 방정식은 1956년 벨 연구소의 존 켈리(John Kelly)가 고안한 수식입니다. 핵심은 간단합니다. 기댓값이 플러스(+)인 투자 기회에서, 장기적으로 복리 수익률을 최대화하기 위한 최적의 배팅 비율을 찾아내는 것입니다.

2. 공식 살펴보기

가장 기본적인 형태의 켈리 공식은 다음과 같습니다.

$$f^* = \frac{bp - q}{b}$$

• $f^*$: 자산 대비 투자해야 할 최적의 비율
• $b$: 배당률 (순수익 비율, 예를 들어 1만 원을 걸어 1만 원을 더 벌면 $b=1$)
• $p$: 이길 확률 (승률)
• $q$: 질 확률 ($1 - p$)

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3. 쉬운 예시: 동전 던지기 게임

앞면이 나오면 배팅금의 2배를 받고(수익률 100%), 뒷면이 나오면 배팅금을 모두 잃는 게임이 있다고 가정해 봅시다. 그런데 이 동전은 특별해서 앞면이 나올 확률이 60%입니다.

• $p$ (승률) = 0.6
• $q$ (패배 확률) = 0.4
• $b$ (배당률) = 1 (수익금/투자금)

공식에 대입하면:

$$f^* = \frac{(1 \times 0.6) - 0.4}{1} = 0.2$$

즉, 매 판 내 자산의 20%를 배팅하는 것이 장기적으로 자산을 가장 빨리 불리는 길이라는 뜻입니다.

4. 켈리 방정식의 시사점

1. 승률이 아무리 높아도 올인은 금물: 공식에 따르면 승률이 100%가 아닌 이상 $f^*$가 1(100%)이 되는 경우는 거의 없습니다. 한 번의 실패로 파산하는 것을 방지하기 위함입니다.
2. 기댓값이 0 이하라면 투자하지 마라: 계산 결과가 0이나 음수가 나온다면, 그 게임은 통계적으로 이길 수 없는 게임이니 손을 떼라는 강력한 신호입니다.
3. 하이 리스크 하이 리턴의 통제: 무조건 많이 건다고 좋은 것이 아닙니다. 켈리 비율보다 더 많이 배팅하면 오히려 리스크가 급격히 커져 '파산의 위험'이 기하급수적으로 늘어납니다.

5. 실제 투자에서의 주의점 (Fractional Kelly)

실제 시장에서는 승률($p$)과 배당률($b$)을 정확히 알기 어렵습니다. 그래서 전문가들은 켈리 공식으로 나온 값의 절반만 투자하는 '하프 켈리(Half-Kelly)' 전략을 주로 사용합니다. 이는 예측이 틀렸을 때의 변동성을 줄여주는 안전장치 역할을 합니다.